Меню

Как установить равны два треугольника или нет

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Геометрия:

Контакты

Признаки равенства треугольников

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А1В1С1. Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.

Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Так, например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1, изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А1В1 лежат равные углы С и С1. Равенство треугольников ABC и А1В1С1 будем обозначать так: Δ ABC = Δ А1В1С1. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.

Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис.2).

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, АС = A1C1 ∠ А = ∠ А1 (см. рис.2). Докажем, что Δ ABC = Δ A1B1C1.

Так как ∠ А = ∠ А1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и A1C1. Поскольку АВ = A1B1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 а сторона АС — со стороной А1C1; в частности, совместятся точки В и В1, С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.

Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.

Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).

Читайте также:  Navitel как установить маршрут

Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.

Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.

Из последней теоремы вытекает теорема 4.

Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (подробнее).

Пример 1. В треугольниках ABC и DEF (рис. 4)

∠ А = ∠ Е, АВ = 20 см, АС = 18 см, DE = 18 см, EF = 20 см. Сравнить треугольники ABC и DEF. Какой угол в треугольнике DEF равен углу В?

Решение. Данные треугольники равны по первому признаку. Угол F треугольника DEF равен углу В треугольника ABC, так как эти углы лежат против соответственно равных сторон DE и АС.

Пример 2. Отрезки АВ и CD (рис. 5) пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС равен 6 м?

Решение. Треугольники АОС и BOD равны (по первому признаку): ∠ АОС = ∠ BOD (вертикальные), АО = ОВ, СО = OD (по условию).
Из равенства этих треугольников следует равенство их сторон, т. е. АС = BD. Но так как по условию АС = 6 м, то и BD = 6 м.

Пример 3. В треугольниках ABC и DEF (см. рис. 4) АВ = EF, ∠A = ∠E, ∠B = ∠F.

Сравнить эти треугольники. Какие стороны в треугольнике DEF равны соответственно сторонам ВС и СА?

Решение. Треугольники ABC и DEF равны по второму признаку. Стороны DF и DE треугольника DEF равны соответственно сторонам ВС и СА треугольника ABC, так как стороны DF и ВС (DE и СА) лежат против равных углов Е и A (F и В).

Пример 4. На рисунке 6 углы DAB и СВА, CAB и DBA равны, СА = 13 м. Найти DB.

Решение. Треугольники АСВ и ADB имеют одну общую сторону АВ и по два равных угла, которые прилежат к этой стороне. Следовательно, треугольники АСВ и ADB равны (по второму признаку). Из равенства этих треугольников следует равенство сторон BD и АС, т. е. BD = 13 м.

Читайте также:  Как установить фонарь на задний ход ваз 2107

Источник

Два треугольника равны

Два треугольника равны, если об этом сказано в условии или это можно доказать по одному из признаков равенства треугольников (либо по одному из признаков равенства прямоугольных треугольников).

Один из наиболее важных моментов, с которых начинается доказательство — правильное название треугольников.

Какие треугольники называются равными?

Два треугольника равны, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны.

(Треугольники равны, если их можно совместить наложением).

Это значит, что для равных треугольников выполняется шесть пар равенств, по три пары на углы и на стороны.

1) ∠A = ∠A1 ; 3) AB = A1B1 ;

2) ∠B = ∠B1 ; 4 ) BC = B1C1 ;

Здесь треугольники ABC и A1B1C1 равны. Равные углы в названиях треугольников стоят на одинаковых местах:

∠A и ∠A1 стоят на первом месте, ∠B и ∠B1 — на втором, ∠C и ∠C1 — на третьем.

Что получится, если второй треугольник назвать не A1B1C1 а, например, C1B1A1?

В этом случае ∆ ABC=∆ C1B1A1.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон и соответствующих углов.

1) ∠A = ∠С1 ; 3) AB = C1B1 ;

2) ∠B = ∠B1 ; 4 ) BC = B1A1 ;

Но эти равенства не верны! (точнее, не все верны). Значит, треугольники ABC и C1B1A1 не равны.

В именах людей место каждой буквы важно. К примеру, имена «Аня» и «Яна» состоят из одинаковых букв, но никто не станет называть Аню Яной, и наоборот.

В «имени» треугольников позиция каждой буквы не менее значима.

Когда нужно доказать, что два треугольника равны, первый треугольник называем произвольно. А вот название второго треугольника уже нужно продумывать и подбирать правильно, чтобы равные углы и равные стороны стояли на одинаковых позициях.

Источник

Признаки равенства треугольников

Два треугольника считаются равными, если их можно совместить наложением. Но, чтобы не выполнять каждый раз наложение, для доказательства равенства треугольников, установили три признака, по которым можно определить, совместятся треугольники или нет. Эти признаки называются признаками равенства треугольников.

Читайте также:  Как установить лицензию на винрар

Первый признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если у них равны две стороны и угол, лежащий между этими сторонами.

Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1, у которых:

Требуется доказать, что

ABC = A1B1C1.

Если наложить A1B1C1 на ABC так, чтобы точка A1 совместилась с точкой A и сторона A1B1 совместилась со стороной AB, то точка B совместится с точкой B1, так как A1B1 = AB. Сторона A1C1 совместится со стороной AC, так как ∠A = ∠A1. Точка C1 совпадёт с точкой C, так как A1C1 = AC. Стороны B1C1 и BC совместятся, так как совместились их концы. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если у них равна одна из сторон и два прилежащих к ней угла.

Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1, у которых:

Требуется доказать, что

ABC = A1B1C1.

Если наложить A1B1C1 на ABC так, чтобы точка A1 совместилась с точкой A и сторона A1C1 совместилась со стороной AC, то точка C1 совпадёт с точкой C, так как A1C1 = AC. Сторона A1B1 совпадёт со стороной AB, так как ∠A = ∠A1. Сторона C1B1 совпадёт со стороной CB, так как ∠C = ∠C1. Вершина B1 совпадёт с вершиной B, так как B и B1 будут служить точками пересечения одних и тех же отрезков. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого.

Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1, у которых:

Требуется доказать, что

ABC = A1B1C1.

Приложим треугольники ABC и A1B1C1 один к другому так, чтобы вершина A совместилась с A1, вершина C — с C1, а вершины B и B1 оказались по разные стороны от прямой AC.

Соединив точки B и B1, получим два равнобедренных треугольника BAB1 и BСB1.

В треугольнике BAB1 1 = 4, в BСB1 2 = 3 (как углы при основании). Следовательно,

Из этого следует, что треугольники ABC и A1B1C1 равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Для прямоугольных треугольников, кроме перечисленных трёх признаков равенства, имеются ещё дополнительные признаки, так как у них у всех есть прямой угол, а все прямые углы равны между собой.

Два прямоугольных треугольника будут равны в следующих четырёх случаях:

Источник